H0 yl = -ih/2p ¶Yl/¶x, (1)

che per t<0 si trovi in uno degli autostati yl dell'hamiltoniana H0. Se al tempo t=0 il sistema viene investito da una debole perturbazione v(x,t), il suo stato sarà scrivibile come somma degli autostati non perturbati:

y'n = Sl anl(t) yl, (2)

e i coefficienti anl saranno ricavabili dall'equazione

d/dt anm(t) = -2pi/h exp[-2pi(En-Em)t/h] vmn, (3)

ove abbiamo separato la dipendenza temporale delle autofunzioni scrivendo yl = exp (-2piElt/h) ul(x), e

vmn = ò dt u*m v un,

se ym è una autofunzione particolare di H0. Per ricavare la (3) abbiamo supposto che la perturbazione influenzasse in maniera piccola le autofunzioni, cosicché abbiamo potuto porre anm(t) = 0 per n diverso da m, e ann=1.

Se v torna ad essere nullo per t=t', il sistema deve tornare in uno degli autostati non perturbati: qualora y(t') sia diverso da y(0) il potenziale ha indotto una transizione, modificando il valore dei numeri quantici del sistema. Sebbene la sola conoscenza del potenziale e dello stato y(0) non ci permettano in generale di conoscere il comportamento di y per t>0, è comunque possibile ricavare delle condizioni sui numeri quantici nello stato iniziale e finale: dato che la probabilità di transizione tra due particolari autostati è definita come Tmn = a*nmanm, essa dipende dal quadrato degli elementi vmn. Se per due particolari valori n,m degli indici si trova vmn nullo, si può escludere che una tale transizione abbia avuto luogo: si dice in tal caso che esiste una regola di selezione, relativa al potenziale v(x,t), che vieta le transizioni dallo stato n allo stato m.

E = E0 cos (kx-wt) = E0 Re [ e-iwt (1+ikx+i2k2x2+...)] = E0 coswt.

Il potenziale di questo campo dipende allora linearmente dalla coordinata x, e a causa di ciò le transizioni fra due stati descritti dai numeri quantici n e m saranno proporzionali a [ò u*m x un dx]2: se prendiamo ad esempio due stati descritti da autofunzioni con dipendenza exp(-imf) dall'angolo azimutale, troviamo

Tmn µ [ò exp (-inf) r sinq cosf exp(imf) df]2 : (4)

questo integrale, come è facile verificare, dà contributo non nullo solamente se n=m±1. Dunque la regola di selezione per radiazione e.m. polarizzata lungo x che incide su un atomo è, nell'approssimazione di dipolo, Dm=±1: il numero quantico magnetico può cambiare solo di una unità in questo caso.

In maniera del tutto simile a quanto visto per il numero quantico m, se si considera la dipendenza da q delle autofunzioni dell'atomo di idrogeno, Pl(cosq), si ottiene facilmente una analoga regola di selezione sul numero quantico orbitale: Dl=±1 per radiazione di dipolo elettrico. Questa regola ci permette di introdurre il caso particolare che intendo trattare più approfonditamente nella seconda parte di questa breve esposizione: il numero quantico di parità, P. Le autofunzioni dell'atomo di idrogeno hanno la proprietà

y(-r) = (-1)l y(r), (5)

cosa che implica che la parità atomica debba cambiare in una transizione di dipolo elettrico, dato che l cambia di una unità. La parità è infatti proprio l'operatore di riflessione degli assi P: r ® -r. Che la parità dell'atomo cambi non deve sorprenderci: in effetti, ciò è legato al fatto che il fotone che viene emesso nella transizione possiede parità intrinseca negativa, il che permette la conservazione della parità complessiva: essa è una quantità conservata nelle interazioni elettromagnetiche.

La parità è un concetto di grande importanza per la fisica delle particelle elementari. Negli anni '40 e '50 vennero scoperti un gran numero di stati adronici dallo studio dei raggi cosmici e dalle collisioni di alta energia fornite dai primi ciclotroni: dallo studio delle reazioni di produzione o decadimento ad ognuno di essi fu possibile associare una parità intrinseca (avendo definito positiva per convenzione quella di protoni e neutroni). Ad esempio, la particella chiamata q+, di massa poco inferiore a 500 MeV/c2 e spin nullo, decadeva secondo lo schema

q+ ® p+ + p0, (6)

ed aveva pertanto parità positiva, dato che la reazione avviene fra corpi tutti di spin nullo e quindi P(q+) = P(p)2 = + 1, poiché lo studio di altri processi (la reazione p+ d ® n + n per il pione carico e il decadimento doppio Dalitz p0 ® e+e-e+e- per quello neutro) aveva precedentemente chiarito la parità negativa dei pioni. La particella denominata t+, di caratteristiche altrimenti identiche a q, decadeva invece in tre pioni,

t+ ® p+ + p+ + p-, (7)

e doveva pertanto avere parità negativa (in quanto, detto l+ il momento angolare relativo dei due pioni positivi e l- quello del pione negativo relativo al c.m. dei due p+, la conservazione del momento angolare implica l+ = l-, da cui P(t+) = P(p)3 (-1)l+ (-1)l- = P(p) = -1).

A dispetto della loro altrimenti perfetta somiglianza (di massa, spin e modi di produzione), i due stati q e t erano considerati distinti a causa della loro parità intrinseca opposta: questo illustra la grande confidenza che veniva posta sulla assolutezza delle regole di selezione relative alla parità, considerata fino ad allora una simmetria dello spazio altrettanto fondamentale ed assoluta quanto la simmetria per rotazioni. Furono Lee e Yang, nell'aprile 1956, a far notare come non vi fosse alcuna evidenza, negli esperimenti compiuti fino allora, del fatto da tutti accettato che la parità fosse conservata nelle interazioni deboli: per osservare un fenomeno che potesse distinguere destra e sinistra (e quindi non si riproducesse per inversione P) andava misurata una quantità con caratteristiche di trasformazione pseudoscalari, quale ad esempio il prodotto fra un vettore assiale e un vettore polare. Furono per primi la signora Wu e i suoi collaboratori del National Bureau of Standards a dimostrare come in effetti la parità fosse violata nel decadimento b del cobalto 60: raffreddando a bassissima temperatura il cobalto fu possibile allineare lo spin degli atomi (J=5) con un forte campo magnetico, e questo permise a Wu di scoprire che gli elettroni del decadimento

60Co ® 60Ni* + e + ne (8)

venivano emessi preferenzialmente in direzione opposta a quella del campo magnetico, fatto che corrisponde a una violazione della parità nel processo di decadimento (8): dato che il momento angolare del Nichel eccitato è J=4, i due leptoni devono portar via l'unità di momento angolare e devono quindi avere polarizzazione lungo l'asse z (direzione del campo B magnetizzante). L'osservazione che gli elettroni sono emessi preferenzialmente in direzione opposta all'asse z implica che la quantità s * p ha un valore medio diverso da zero, cosa che contrasta con la prescrizione

P(s * p) = P(s) P(p) = - s * p ® <s * p> = 0. (9)

La parità è dunque violata nelle interazioni deboli, e non è quindi un buon numero quantico se si considerano queste interazioni: questo ci permette di capire che gli stati q e t sono effettivamente la stessa particella, di parità negativa, che decade secondo (6) violando la parità o secondo (7) conservandola.

Jva = Sl yl ga yn, (10)

per la quale vale P (Jva) = Jva; e una corrente assiale,

Jaa = Sl yl ga g5 yn, (11)

per la quale è invece P (Jaa) = -Jaa . L'Hamiltoniano si scrive nella forma

Hw = 2-1/2Gf ( Jva - Jaa )+ (Jva - Jaa ), (12)